POLINOMIAL

POLINOMIAL

• Pengertian Polinomial

       Polinomial adalah suku banyak yang memuat:

1.    Pangkat bilangan cacah

2.    Variabel

3.    Koefisien

4.   Operasi matematis

5.    Konstanta

• Contoh Polinomial

          X³+10x²+8x-9

• Contoh Bukan Polinomial

         X^1/2+19x^1/4-4x-2

•  Operasi Polinomial

      F(x)= 3x³+2x²+5x+1

      G(x)= 5x+2

a.   Penjumlahan f(x)+g(x)

                 (3x³+2x²+5x+1)+(5x+2)

         =3x³+2x²+5x+1+5x+2

=3x³+2x²+10x+3

b.   Selisih f(x)-g(x)

(3x³+2x²+5x+1)-(5x+2)

=3x³+2x²+5x+1-5x-2

=3x³+2x^2-1

c.    Perkalian f(x).g(x)

(3x³+2x²+5x+1).(5x+2)

=15x⁴+6x³-10x³-4x²+25x²+10x+5x+2

=15x⁴-4x³+21x²+15x+2

• Menentukan Nilai Polinomial

        Diketahui suku banyak f(x)= 3x³-2x²+X-3, untuk x=2

a.   Metode Subtitusi

F(x)= 3x³-2x²+X-3

F(x)= 3(2)³+2(2)²+(2)-3

F(2)= 24+8+2-3

F(2)= 31

b.   Teori Horner

 

   3      2      1       -3

 

                 2   0      6      16     34

                      3      8      17      31

  

• Algoritma Pembagian

        Diketahui f(x)=3x⁴+3x³+2x²-5x+3

                        g(x)= (x-2)

a.   Cara Bagi Bersusun

b.   Teori Horner

 

  3     3     2     -5      3

  

                 2  0     6     18     40    70

                    3     9     20     35    73

• Teorema Sisa

a.   Teorema sisa I

Jika suku banyak f(x) dibagi (x-k), maka sisa pembaginya adalah f(k).

Contoh soal :

F(x)=2x²+x+2, untuk x=4

·         Metode subtitusi

F(x)=2x²+x+2

F(k)= 2(k)²+(k)+2

F(4)=2(4)²+(4)+2

F(4)=38

·         Teori Horner

 

 2     1      2

 

                              4  0     8      36

                                 2     9      38

   

b.   Teorema sisa II

Jika suku banyak f(x) dibagi (ax-b), maka sisa pembaginya adalah f(b/a).

Contoh soal:

Diketahui f(x)=X³+5x²+x+2, untuk 2x+1

·         Metode Subtitusi

f(x)=X³+5x²+x+2

f(b/a)= (b/a)³+5(b/a)²+(b/a)+2

f(1/2)=(1/2)³+5(1/2)²+(1/2)+2

f(1/2)=1/8+5/4+1/2+2

f(1/2)=31/8

·         Teori Horner

 

     1      5        1         2

½       0     ½      11/4     15/8

1        11/2   15/4    31/8

c.    Teorema sisa III

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x-a) (x-b), maka tersisa p(x)+q. Dimana f(a)= pa+q dan f(b)=pb+q.

Contoh soal:

Diketahui f(x)= x³+2x²-5x+3

                          X2-x-2

Penyelesaian :

X²-x-2=(x-2)(x+1)

A=2

B=-1

F(x)= x³+2x²-5x+3            f(b)=b³+2b²-5b+3

F(a)= a³+2a²-5a+3            f(-1)= -1³+2.(-1)²-5.(-1)+3

F(2)=2³+2.2²-5.2+3           f(-1)=9

F(2)=9

F(a)= p(a)+q                    f(b)=p(b)+q

F(2)=p(2)+q                     f(-1)=p(-1)+q

F(2)=2p+q                       f(-1)=-p+q

  9 = 2p+q                         9  =-p+q

2p+q=9                          -p+q = 9

2p+q=9         2p+q=9         p(x)+q

-p+q=9-       2.0+q=9         0.(x)+q

3p=0                 q=9           q=9

  P=0

Pembuktian!

 

• Teorema Faktor

        Jika suku banyak f(x) suatu suku banyak, maka (x-k) merupakan faktor dari f(x) dan hanya jika f(k)=0.

Contoh soal:

Tunjukkan bahwa (x-4) merupakan faktor dari p(x)=2x²-x-28.

Penyelesaian:

P(x)= 2x¹-x-28

P(4)=2(4)²-(4)-28

P(4)=32-4-28

P(4)=0

Karena nilai p(4)=0 maka benar bentuk (x-4) adalah faktor dari p(x).